O dimensionamento de uma cortina de estacas não começa pela escolha do diâmetro, da armadura ou da profundidade das estacas.

Ele começa pela compreensão do terreno.

Antes de escrever qualquer equação, o projetista precisa responder:

• quais camadas de solo existem;
• como essas camadas variam ao longo da contenção;
• onde está o nível d’água;
• quais parâmetros representam a resistência do solo;
• qual é a deformabilidade do maciço;
• quais sobrecargas atuarão próximas à escavação;
• qual deslocamento a vizinhança pode tolerar;
• como a escavação será executada.

A partir dessas informações, constrói-se um modelo no qual o terreno atrás da cortina produz empuxos e o solo existente abaixo da cota de escavação fornece parte da resistência necessária.

Este artigo ensina o dimensionamento de uma cortina de estacas em balanço, sem tirantes e sem escoras, por um método simplificado de equilíbrio-limite.

O exemplo tem finalidade pedagógica. Ele permite que um estudante compreenda o raciocínio, reproduza os cálculos e monte uma planilha. Não substitui um projeto executivo, que exige investigação específica, responsabilidade técnica, combinações normativas, verificação de deslocamentos, estabilidade global, água, etapas construtivas e condições reais de execução.

Para compreender primeiro os diferentes sistemas disponíveis, consulte contenção de solo: tipos de muros, cortinas, tirantes e importância da sondagem.

As diferenças entre cortina espaçada, tangente e secante, assim como os métodos com estaca escavada, hélice contínua e estaca raiz, estão detalhadas em cortina de contenção em estacas: tipos, métodos executivos e segurança da escavação.

1. O que será dimensionado neste exemplo

Será estudada uma contenção com as seguintes características:

• estacas circulares de concreto armado;
• estacas escavadas moldadas no local;
• cortina espaçada;
• fechamento entre estacas executado separadamente;
• terreno horizontal atrás da cortina;
• escavação vertical;
• solo arenoso homogêneo;
• cortina trabalhando em balanço;
• ausência de tirantes e escoras;
• nível d’água abaixo da ponta da estaca no exemplo principal;
• sobrecarga uniforme próxima à contenção.

O sistema possui duas regiões fundamentais.

Trecho livre ou trecho em balanço

É a parte da estaca que fica exposta após a escavação.

Nesse trecho, o solo existente atrás da cortina produz pressão horizontal. Como não existe solo no lado escavado, não há resistência frontal equivalente.

Ficha de embutimento

É o comprimento da estaca situado abaixo da cota final de escavação.

Nessa região, ainda existe solo dos dois lados. A interação entre a estaca e o terreno fornece resistência lateral e permite equilibrar parte dos empuxos aplicados acima.

A ficha não é simplesmente uma fração fixa da altura escavada. Ela depende dos parâmetros do solo, da sobrecarga, da água, do diâmetro, do espaçamento e do método de cálculo.

2. Geometria e variáveis utilizadas

Considere a seguinte nomenclatura:

Símbolo	Definição	Unidade
$H$H	Altura livre da escavação	m
$d$d	Ficha teórica de embutimento	m
$d_f$df​	Ficha final adotada	m
$L$L	Comprimento total da estaca, $L=H+d_f$L=H+df​	m
$D$D	Diâmetro da estaca	m
$s$s	Espaçamento entre eixos das estacas	m
$g$g	Vão livre entre estacas, $g=s-D$g=s−D	m
$q$q	Sobrecarga uniforme na superfície	kPa
$z$z	Profundidade medida a partir da superfície	m
$x$x	Profundidade abaixo da cota de escavação	m
$z_w$zw​	Profundidade do nível d’água	m
$\gamma$γ	Peso específico natural do solo	kN/m³
$\gamma_{sat}$γsat​	Peso específico saturado	kN/m³
$\gamma’$γ′	Peso específico submerso	kN/m³
$\varphi’$φ′	Ângulo de atrito efetivo	graus
$c’$c′	Coesão efetiva	kPa
$K_a$Ka​	Coeficiente de empuxo ativo	—
$K_p$Kp​	Coeficiente de empuxo passivo	—
$M_k$Mk​	Momento fletor característico	kN·m
$M_{Sd}$MSd​	Momento fletor de cálculo	kN·m
$V_{Sd}$VSd​	Esforço cortante de cálculo	kN
$A_s$As​	Área de aço longitudinal	mm²
$f_{ck}$fck​	Resistência característica do concreto	MPa
$f_{yk}$fyk​	Resistência característica do aço	MPa

3. A investigação geotécnica necessária

Uma cortina de estacas mobiliza uma região de solo que se estende abaixo da escavação e lateralmente para trás da contenção.

Por isso, a investigação não pode terminar exatamente na cota final do corte.

A sondagem precisa alcançar profundidade suficiente para caracterizar:

• todo o trecho livre;
• a provável ficha de embutimento;
• o solo que fornecerá resistência passiva;
• camadas compressíveis situadas abaixo;
• transições abruptas;
• materiais impenetráveis;
• rocha alterada ou sã;
• nível d’água e suas variações.

Também é necessário avaliar a variação lateral do perfil ao longo da cortina. Um único furo pode não representar uma contenção extensa ou um terreno geologicamente heterogêneo.

A sondagem SPT fornece o perfil das camadas, amostras deformadas, valores de NSPT e observações sobre o nível d’água.

Quando o SPT encontra material impenetrável sem esclarecer sua natureza, podem ser necessárias sondagens mistas e rotativas.

A leitura do boletim deve considerar a continuidade do perfil, a energia do ensaio e as condições geológicas, e não apenas um número isolado. Esse tema é aprofundado em interpretação geotécnica do SPT e em variabilidade e eficiência real de energia no SPT.

4. Parâmetros necessários e onde obtê-los

A tabela abaixo diferencia parâmetros medidos, estimados e definidos pelo projeto.

Parâmetro	Símbolo	Função no cálculo	Fonte preferencial
Peso específico natural	$\gamma$	Tensões verticais e empuxos	Índices físicos e amostras representativas
Peso específico saturado	$\gamma_{sat}$	Tensões abaixo do nível d’água	Laboratório
Ângulo de atrito efetivo	$\varphi’$	Cálculo de $K_a$Ka​ e $K_p$Kp​	Cisalhamento direto ou ensaio triaxial drenado
Coesão efetiva	$c’$	Resistência drenada	Ensaios drenados
Resistência não drenada	$s_u$	Análises de curto prazo em argilas	Triaxial, palheta ou compressão simples
Módulo de deformabilidade	$E_s$	Deslocamentos	Pressiômetro, dilatômetro, ensaios triaxiais ou retroanálise
Coeficiente de reação horizontal	$k_h$​ ou $\eta_h$	Modelos de interação solo-estaca	Ensaios, curvas $p-y$p−y ou calibração
Nível d’água	$z_w$	Pressão neutra e tensões efetivas	Sondagem, piezometria e monitoramento
Sobrecarga	$q$	Empuxo adicional	Uso do terreno e projeto
Resistência do concreto	$f_{ck}$	Capacidade estrutural da estaca	Projeto e especificação do concreto
Resistência do aço	$f_{yk}$	Capacidade da armadura	Especificação do aço

O parâmetro preferencial é aquele obtido por ensaio compatível com o mecanismo de carregamento estudado.

Correlações com SPT são estimativas. Elas são úteis para estudos preliminares, comparação de ordens de grandeza e análises de sensibilidade, mas não transformam o NSPT em um ensaio direto de atrito, coesão ou deformabilidade.

5. Correções do NSPT

O valor registrado em campo é representado por $N_{SPT}$​.

Quando a correlação foi desenvolvida com energia de referência igual a 60%, deve-se utilizar:

$$N_{60}=N_{SPT}\,C_E\,C_B\,C_R\,C_S$$

Onde:

• $C_E$​: correção da energia do sistema;
• $C_B$​: correção do diâmetro do furo;
• $C_R$​: correção do comprimento das hastes;
• $C_S$​: correção do tipo de amostrador.

A correção de energia pode ser expressa por:

$$C_E=\frac{ER}{60}$$

Onde $ER$ é a eficiência de energia medida ou estimada, em porcentagem.

Para algumas correlações em solos granulares, também se normaliza o resultado em função da tensão vertical efetiva:

$$(N_1)_{60}=C_N\,N_{60}$$

Uma forma comum de expressar o fator de normalização é:

$$C_N=\sqrt{\frac{p_a}{\sigma’_{v0}}}$$

Onde:

• $p_a$p: pressão atmosférica de referência, aproximadamente $100\ \text{kPa}$100 kPa;
• $\sigma’_{v0}$′​: tensão vertical efetiva na profundidade do ensaio;
• $C_N$​: fator limitado à faixa de validade da correlação escolhida.

Não se deve aplicar automaticamente uma correção sem verificar como a equação original foi desenvolvida. Algumas correlações utilizam $N$, outras $N_{60}$​ e outras $(N_1)_{60}$

6. Tabela de correlações entre NSPT e parâmetros geotécnicos

Parâmetro	Estimativa baseada no SPT	Índice utilizado	Uso recomendado	Ensaio preferencial
Ângulo de atrito efetivo de areias	$\varphi’=20+\sqrt{20(N_1)_{60}}$	$(N_1)_{60}$	Estimativa preliminar em areias compatíveis com a base empírica	Triaxial drenado ou cisalhamento direto
Resistência não drenada de argilas	$s_u=f_1N$	Índice compatível com a correlação	Estudo preliminar com calibração local	Triaxial, palheta ou compressão simples
Módulo de deformabilidade	$E_s=\alpha_E N_{60}$​	$N_{60}$	Análise preliminar e sensibilidade	Pressiômetro, dilatômetro, triaxial ou retroanálise
Compacidade de areias	Faixas relacionadas a $N_{60}$	$N_{60}$	Classificação qualitativa	Ensaios de densidade e caracterização
Consistência de argilas	Faixas qualitativas relacionadas ao SPT	$N$	Descrição inicial	Ensaios de resistência não drenada
Peso específico	Faixas por classificação do solo	Classificação + SPT	Apenas estimativa inicial	Índices físicos
Coesão efetiva	Sem correlação universal recomendável	—	Não estimar mecanicamente	Ensaio drenado
Coeficiente de reação horizontal	Sem correlação universal única	SPT como dado auxiliar	Modelos preliminares	Ensaio lateral, pressiômetro ou curvas $p-y$

Correlação para o ângulo de atrito

Para determinadas areias, Hatanaka e Uchida propuseram:

$$\varphi’=20+\sqrt{20(N_1)_{60}}$$

Onde:

• $\varphi’$: ângulo de atrito efetivo, em graus;
• $(N_1)_{60}$​: índice corrigido e normalizado.

O estudo original indicou aplicação dentro da faixa investigada de aproximadamente $3,5\leq N_1\leq30$. A equação não deve ser extrapolada indiscriminadamente para solos residuais, lateríticos, saprolíticos, cascalhos ou areias com quantidade relevante de finos.

Correlação para resistência não drenada

Para determinadas argilas pouco sensíveis:

$$s_u=f_1N$$

Onde:

• $s_u$​: resistência não drenada, em kPa;
• $f_1$​: coeficiente empírico, em kPa por golpe;
• $N$: índice SPT compatível com a calibração.

Valores de $f_1$ encontrados em estudos clássicos variam aproximadamente entre 4 e 7 kPa por golpe, mas dependem do índice de plasticidade, da geologia, do equipamento e do procedimento do ensaio. Por isso, a relação precisa ser calibrada com resultados locais.

Correlação para o módulo de deformabilidade

Uma forma genérica é:

$$E_s=\alpha_E N_{60}$$

Onde $\alpha_E$​ depende de:

• tipo de solo;
• nível de tensões;
• compacidade ou consistência;
• drenagem;
• método utilizado para medir o módulo;
• deformação correspondente ao problema.

Não existe um único valor universal de $\alpha_E$αE​.

Isso é particularmente importante em contenções porque a resistência controla a ruptura, enquanto o módulo influencia diretamente os deslocamentos. Os artigos recalque em fundações e estimativa de deformações pelo SPT e solo duro também recalca aprofundam essa distinção.

7. Dados do exemplo didático

Dado	Valor adotado	Origem
Altura da escavação	$H=2,50\ \text{m}$H=2,50 m	Geometria do exemplo
Solo	Areia homogênea	Perfil hipotético
NSPT representativo	$N_{SPT}=8$	Sondagem hipotética
Peso específico	$\gamma=18\ \text{kN/m}^3$	Ensaio de índices físicos
Ângulo de atrito medido	$\varphi’=32^\circ$	Ensaio de laboratório
Coesão efetiva	$c’=0$	Hipótese para areia
Sobrecarga	$q=10\ \text{kPa}$	Uso do terreno
Nível d’água	Abaixo da ponta	Hipótese principal
Diâmetro preliminar	$D=0,40\ \text{m}$	Escolha inicial
Espaçamento preliminar	$s=1,20\ \text{m}$	Escolha a verificar
Concreto	$f_{ck}=30\ \text{MPa}$	Projeto estrutural
Aço	$f_{yk}=500\ \text{MPa}$	Aço CA-50
Cobrimento nominal	$c_{nom}=50\ \text{mm}$	Hipótese didática
Sistema	Cortina espaçada em balanço	Modelo estudado

O vão livre inicial é:

$$g=s-D$$$$g=1,20-0,40=0,80\ \text{m}$$

Esse vão não pode permanecer sem análise. O solo entre as estacas e o elemento de fechamento precisam ser verificados separadamente.

8. Verificação da estimativa de $\varphi’$φ′ pelo NSPT

Para o exemplo, admite-se que o ensaio tenha energia de referência compatível com 60% e que os demais fatores sejam iguais a 1:

$$N_{60}=8\times1,0\times1,0\times1,0\times1,0$$$$N_{60}=8$$

Considere uma tensão vertical efetiva representativa:

$$\sigma’_{v0}=65\ \text{kPa}$$

Assim:$$C_N=\sqrt{\frac{100}{65}}$$$$C_N=1,24$$

Portanto:

$$(N_1)_{60}=1,24\times8$$$$(N_1)_{60}=9,9$$

Aplicando a correlação:

$$\varphi’_{corr}=20+\sqrt{20\times9,9}$$$$\varphi’_{corr}\approx34,1^\circ$$

O ensaio de laboratório forneceu:

$$\varphi’_{lab}=32^\circ$$

Neste exemplo, será utilizado:$$\boxed{\varphi’=32^\circ}$$

A correlação serviu como conferência de ordem de grandeza. O valor medido foi mantido porque é diretamente relacionado ao comportamento resistente do material ensaiado e, neste caso, também é inferior à estimativa empírica.

Para aprofundar esse tema, consulte correlações de NSPT: como realizar de maneira correta.

9. Tensões efetivas e nível d’água

A resistência do solo depende da tensão efetiva:

$$\sigma’_v=\sigma_v-u$$

Onde:

• $\sigma’_v$​: tensão vertical efetiva;
• $\sigma_v$​: tensão vertical total;
• $u$: pressão neutra da água.

Acima do nível d’água, no modelo simplificado:

$$\sigma_v=\gamma z$$

Abaixo do nível d’água:$$u=\gamma_w(z-z_w)$$

e:$$\gamma’=\gamma_{sat}-\gamma_w$$

Onde:$$\gamma_w\approx9,81\ \text{kN/m}^3$$

O empuxo efetivo do solo deve ser calculado com as tensões efetivas. A pressão da água deve ser acrescentada separadamente.

A presença de água não deve ser resumida à simples substituição de $\gamma$ por $\gamma_{sat}$​. Ela altera a pressão neutra, a resistência passiva, a estabilidade do fundo e o risco de carreamento de solo.

Esse comportamento é aprofundado em água na sondagem e seus efeitos no projeto e na execução.

10. Coeficientes de empuxo pelo modelo de Rankine

Para terreno horizontal, solo sem coesão e atrito parede-solo desprezado:

$$K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\varphi’}{2}\right)$$

Também pode ser escrito como:$$K_a=\frac{1-\sin\varphi’}{1+\sin\varphi’}$$

Para $\varphi’=32^\circ$$$K_a=\frac{1-\sin32^\circ}{1+\sin32^\circ}$$$$\boxed{K_a=0,307}$$

O coeficiente passivo é:$$K_p=\tan^2\left(45^\circ+\frac{\varphi’}{2}\right)$$

ou:$$K_p=\frac{1+\sin\varphi’}{1-\sin\varphi’}$$

Logo:$$\boxed{K_p=3,255}$$

Redução da resistência passiva

A mobilização integral do empuxo passivo exige deslocamentos maiores do que os necessários para mobilizar o empuxo ativo. Além disso, o solo situado à frente da cortina pode ser removido, perturbado ou apresentar condições piores do que as assumidas.

Neste exemplo didático será empregado:$$K’_p=\frac{K_p}{FS_p}$$

Adotando:$$FS_p=1,50$$

Tem-se:$$K’_p=\frac{3,255}{1,50}$$$$\boxed{K’_p=2,170}$$

O procedimento de redução de $K_p$Kp​, assim como os valores de segurança e o acréscimo de ficha utilizados adiante, segue o método simplificado apresentado pelo manual do Departamento de Transportes de Nova York. Esses critérios pertencem ao método de referência adotado no exemplo e não constituem uma regra universal para qualquer projeto.

11. Empuxo ativo acima da escavação

A pressão ativa causada pelo solo é:$$\sigma_{h,\gamma}(z)=K_a\gamma z$$

A parcela causada pela sobrecarga é:$$\sigma_{h,q}=K_aq$$

Parcela da sobrecarga

$$\sigma_{h,q}=0,307\times10$$$$\boxed{\sigma_{h,q}=3,07\ \text{kPa}}$$

Parcela do peso do solo na cota de escavação

$$\sigma_{h,\gamma}(H)=K_a\gamma H$$$$\sigma_{h,\gamma}(H)=0,307\times18\times2,50$$$$\boxed{\sigma_{h,\gamma}(H)=13,83\ \text{kPa}}$$

A pressão total na cota de escavação é:$$\sigma_h(H)=3,07+13,83$$

12. Transformação da pressão em carga por estaca

Acima da cota de escavação, cada estaca recebe a carga correspondente à sua largura tributária $s$s.

Resultante da sobrecarga

$$F_q=\sigma_{h,q}Hs$$$$F_q=3,07\times2,50\times1,20$$$$\boxed{F_q=9,22\ \text{kN por estaca}}$$

Essa força atua no centro do retângulo, a:$$\frac{H}{2}=1,25\ \text{m}$$

acima da cota de escavação.

Resultante triangular do peso do solo

$$F_\gamma=\frac{1}{2}\sigma_{h,\gamma}(H)Hs$$$$F_\gamma=\frac{1}{2}\times13,83\times2,50\times1,20$$$$\boxed{F_\gamma=20,74\ \text{kN por estaca}}$$

Essa força atua a:$$\frac{H}{3}=0,833\ \text{m}$$

acima da cota de escavação.

A força horizontal total acima da escavação é:$$F_a=F_q+F_\gamma$$$$\boxed{F_a=29,96\ \text{kN por estaca}}$$

Para cortinas formadas por elementos discretos, manuais oficiais diferenciam a largura tributária acima da escavação, a largura ativa abaixo da escavação e a largura efetiva sobre a qual se mobiliza resistência passiva.

13. Larguras consideradas abaixo da escavação

No trecho embutido, o empuxo ativo atua diretamente sobre a largura da estaca:

$$b_a=D=0,40\ \text{m}$$

Para a resistência passiva, o método adotado admite uma largura efetiva máxima igual a três vezes o diâmetro do furo, limitada pelo espaçamento entre os elementos:

$$b_p=\min(3D,s)$$$$b_p=\min(3\times0,40,\ 1,20)$$$$\boxed{b_p=1,20\ \text{m}}$$

Esse procedimento representa o efeito tridimensional do solo em torno de um elemento isolado.

Quando as estacas estão muito próximas, as zonas passivas podem se sobrepor. A FHWA observa que espaçamentos inferiores a aproximadamente três diâmetros podem gerar sobreposição das regiões de influência, exigindo análise compatível com o comportamento do conjunto.

14. Pressões e forças no trecho embutido

Considere $x$ medido para baixo a partir da cota de escavação.

Pressão ativa atrás da estaca

$$w_a(x)=D\left[K_a(\gamma H+q)+K_a\gamma x\right]$$

Substituindo os valores:$$w_a(x)=0,40\left[16,90+0,307\times18x\right]$$$$w_a(x)=6,760+2,212x$$

Em kN/m de estaca.

Pressão passiva reduzida na frente da estaca

$$w_p(x)=K’_p\gamma xb_p$$$$w_p(x)=2,170\times18\times1,20x$$$$w_p(x)=46,866x$$

Pressão líquida

Adotando o sentido ativo como positivo:$$w(x)=w_a(x)-w_p(x)$$$$\boxed{w(x)=6,760-44,654x}$$

No início do embutimento, a pressão ainda atua no sentido ativo. Com a profundidade, a resistência passiva cresce e passa a dominar.

15. Cálculo da ficha teórica

A ficha será encontrada pelo equilíbrio de momentos em relação à ponta da estaca.

Para uma ficha genérica $d$d, as forças no trecho embutido são:

Parcela retangular ativa

$$F_0=(\sigma_{h,q}+\sigma_{h,\gamma}(H))Dd$$$$F_0=16,90\times0,40d$$$$\boxed{F_0=6,760d}$$

Parcela triangular ativa

$$F_{a,t}=\frac{1}{2}K_a\gamma Dd^2$$$$F_{a,t}=\frac{1}{2}\times0,307\times18\times0,40d^2$$$$\boxed{F_{a,t}=1,106d^2}$$

Parcela triangular passiva reduzida

$$F_p=\frac{1}{2}K’_p\gamma b_pd^2$$$$F_p=\frac{1}{2}\times2,170\times18\times1,20d^2$$$$\boxed{F_p=23,433d^2}$$

Equação de momentos na ponta

$$F_q\left(d+\frac{H}{2}\right) + F_\gamma\left(d+\frac{H}{3}\right) + F_0\frac{d}{2} + F_{a,t}\frac{d}{3} – F_p\frac{d}{3} =0$$

Substituindo:$$9,218(d+1,25) + 20,740(d+0,833) + (6,760d)\frac{d}{2} + (1,106d^2)\frac{d}{3} – (23,433d^2)\frac{d}{3} =0$$

Após a organização:$$-7,442d^3+3,380d^2+29,958d+28,805=0$$

A raiz positiva é:$$\boxed{d=2,588\ \text{m}}$$

Verificação por tentativas

Tentativa	Ficha $d$d	Momento ativo	Momento passivo	Resultado
1	2,00 m	105,19 kN·m	62,49 kN·m	Insuficiente
2	2,30 m	120,07 kN·m	95,04 kN·m	Insuficiente
3	2,50 m	130,58 kN·m	122,05 kN·m	Insuficiente
4	2,588 m	135,35 kN·m	135,35 kN·m	Equilíbrio
5	2,60 m	136,02 kN·m	137,29 kN·m	Resistente

A tabela permite visualizar que a ficha é encontrada iterativamente.

Acréscimo do método simplificado

O procedimento de referência utilizado recomenda aumentar em 20% a ficha obtida pelo método simplificado:

$$d_f=1,20d$$$$d_f=1,20\times2,588$$$$\boxed{d_f=3,11\ \text{m}}$$

Esse acréscimo não é o fator de segurança aplicado ao empuxo passivo. A redução de $K_p$Kp​ já foi realizada anteriormente.

O comprimento total preliminar é:$$L=H+d_f$$$$L=2,50+3,11$$$$\boxed{L=5,61\ \text{m}}$$

Em um projeto real, o comprimento precisaria ser compatibilizado com a estratigrafia, a profundidade dos equipamentos, a estabilidade global, a água e as tolerâncias executivas.

16. Localização do momento fletor máximo

O momento máximo ocorre onde o esforço cortante é igual a zero.

A força acumulada acima da escavação é:$$F_a=29,958\ \text{kN}$$

A carga líquida abaixo da escavação é:$$w(x)=6,760-44,654x$$

O esforço cortante a uma profundidade $y$y abaixo da escavação é:$$V(y)=29,958+\int_0^y(6,760-44,654x)\,dx$$$$V(y)=29,958+6,760y-22,327y^2$$

Fazendo:$$V(y)=0$$$$29,958+6,760y-22,327y^2=0$$

A raiz positiva é:$$\boxed{y=1,320\ \text{m}}$$

Portanto, o momento máximo ocorre aproximadamente 1,32 m abaixo da cota de escavação.

Isso demonstra por que não é correto assumir automaticamente que o momento máximo ocorre exatamente no nível do fundo da escavação. Manuais de paredes com elementos verticais recomendam calcular a variação dos esforços ao longo da profundidade.

17. Cálculo do momento máximo

O momento na seção situada a uma profundidade $y$y é:$$M(y)= F_q\left(y+\frac{H}{2}\right) + F_\gamma\left(y+\frac{H}{3}\right) + \frac{6,760y^2}{2} – \frac{44,654y^3}{6}$$

Ou:$$M(y)=28,805+29,958y+3,380y^2-7,442y^3$$

Para:$$y=1,320\ \text{m}$$

tem-se:$$M_k=57,12\ \text{kN·m}$$

Portanto:$$\boxed{M_k=57,12\ \text{kN·m por estaca}}$$​

No exemplo estrutural, será adotado um fator didático:

$$\gamma_F=1,40$$

Assim:$$M_{Sd}=\gamma_FM_k$$$$M_{Sd}=1,40\times57,12$$$$\boxed{M_{Sd}=79,97\ \text{kN·m}}$$

O valor de $\gamma_F=1,40$γF​=1,40 foi utilizado apenas para demonstrar a passagem da solicitação característica para a solicitação de cálculo. As combinações definitivas devem seguir as ações, durações, condições provisórias e normas aplicáveis ao projeto.

18. Como calcular o espaçamento entre as estacas

O espaçamento não é obtido por uma única equação isolada.

Ele precisa atender simultaneamente a:

1. capacidade estrutural de cada estaca;
2. ficha necessária;
3. resistência passiva mobilizável;
4. estabilidade do solo entre as estacas;
5. dimensionamento do fechamento;
6. controle de água;
7. deslocamentos admissíveis;
8. tolerâncias de locação e verticalidade;
9. acesso e capacidade do equipamento.

Para demonstrar a influência estrutural, o cálculo foi repetido para diferentes espaçamentos, mantendo:

$$D=0,40\ \text{m}$$

Espaçamento $s$s	Vão livre $g$g	Ficha teórica	Ficha com acréscimo	$M_k$Mk​	$M_{Sd}$MSd​
0,80 m	0,40 m	2,74 m	3,28 m	40,53 kN·m	56,74 kN·m
1,00 m	0,60 m	2,65 m	3,17 m	48,76 kN·m	68,27 kN·m
1,20 m	0,80 m	2,59 m	3,11 m	57,12 kN·m	79,97 kN·m
1,40 m	1,00 m	2,75 m	3,31 m	68,74 kN·m	96,24 kN·m
1,60 m	1,20 m	2,91 m	3,49 m	80,81 kN·m	113,13 kN·m

O aumento do espaçamento eleva a largura tributária e, portanto, a carga recebida por cada estaca.

Entretanto, reduzir o espaçamento também não é uma decisão automaticamente positiva. Estacas muito próximas podem:

• provocar sobreposição das zonas passivas;
• dificultar a perfuração;
• aumentar interferências entre fustes;
• elevar o consumo de concreto;
• alterar o comportamento para uma parede quase contínua;
• exigir outro modelo geotécnico.

O cálculo estrutural desenvolvido adiante indicará uma resistência aproximada de:

$$M_{Rd}=90,4\ \text{kN·m}$$

A solução iterativa fornece um limite estrutural aproximado:

$$s_{máx}\approx1,33\ \text{m}$$

Adota-se:$$\boxed{s=1,20\ \text{m}}$$​

Esse valor fornece reserva estrutural, mas a estabilidade do vão livre de 0,80 m e o sistema de fechamento ainda precisam ser dimensionados.

19. Dimensionamento preliminar da armadura longitudinal

A estaca possui:$$D=400\ \text{mm}$$

Logo, o raio é:$$R=200\ \text{mm}$$

A área bruta é:$$A_g=\frac{\pi D^2}{4}$$$$A_g=\frac{\pi\times400^2}{4}$$$$\boxed{A_g=125\,664\ \text{mm}^2}$$

Resistências de cálculo

Para o concreto:$$f_{cd}=\frac{f_{ck}}{\gamma_c}$$

Adotando:$$\gamma_c=1,40$$$$f_{cd}=\frac{30}{1,40}$$$$\boxed{f_{cd}=21,43\ \text{MPa}}$$​

Para o aço:$$f_{yd}=\frac{f_{yk}}{\gamma_s}$$

Adotando:$$\gamma_s=1,15$$$$f_{yd}=\frac{500}{1,15}$$$$\boxed{f_{yd}=434,8\ \text{MPa}}$$

A ABNT NBR 6118:2026 é a referência brasileira atual para o projeto de estruturas de concreto, incluindo os critérios de resistência, deformações, detalhamento e verificação das seções.

20. Estimativa inicial da área de aço

Considere inicialmente:

• cobrimento nominal: $50\ \text{mm}$50 mm;
• estribo: $8\ \text{mm}$8 mm;
• barras longitudinais: aproximadamente $16\ \text{mm}$16 mm.

A distância da face comprimida ao centro da barra extrema tracionada é aproximadamente:

$$d_e=400-50-8-\frac{16}{2}$$​$$d_e=334\ \text{mm}$$

Para uma estimativa inicial, adote:$$z\approx0,85d_e$$$$z\approx0,85\times334$$$$z\approx284\ \text{mm}$$

Então:$$A_{s,est}=\frac{M_{Sd}}{f_{yd}z}$$$$A_{s,est}= \frac{79,97\times10^6} {434,8\times284}$$$$\boxed{A_{s,est}\approx648\ \text{mm}^2}$$

Esse valor é apenas uma estimativa.

Em uma seção circular, as barras são distribuídas ao redor do perímetro. Nem toda a área longitudinal fica concentrada na face tracionada. Por isso, aplicar diretamente uma fórmula de viga retangular pode superestimar a capacidade da estaca.

A seção deve ser verificada por compatibilidade de deformações e equilíbrio.

21. Verificação rigorosa da seção circular

Considere uma seção circular com barras igualmente distribuídas.

Posição das barras

O raio da circunferência que passa pelos centros das barras é:

$$r_s=R-c_{nom}-\varphi_t-\frac{\varphi_l}{2}$$

Onde:

• $R$R: raio da estaca;
• $c_{nom}$cnom​: cobrimento nominal;
• $\varphi_t$φt​: diâmetro do estribo;
• $\varphi_l$φl​: diâmetro da barra longitudinal.

Para barras de 16 mm:$$r_s=200-50-8-8$$$$\boxed{r_s=134\ \text{mm}}$$

A coordenada vertical de cada barra é:$$y_i=r_s\cos\theta_i$$

Para $n$n barras igualmente espaçadas:$$\theta_i=\frac{2\pi i}{n}$$

Bloco comprimido de concreto

Considere:$$a=\lambda x$$

Onde:

• $x$x: profundidade da linha neutra;
• $\lambda$λ: coeficiente do bloco equivalente;
• $a$a: altura do segmento circular comprimido.

Para o exemplo:$$\lambda=0,80$$

A área do segmento circular comprimido é:$$A_c= R^2\arccos\left(\frac{R-a}{R}\right) – (R-a)\sqrt{2Ra-a^2}$$

O primeiro momento da área comprimida em relação ao centro é:

$$Q_c=\frac{2}{3}(2Ra-a^2)^{3/2}$$

A posição do centroide do bloco comprimido é:$$y_c=\frac{Q_c}{A_c}$$

A força de compressão no concreto é:$$C_c=\alpha_cf_{cd}A_c$$

Para o exemplo:$$\alpha_c=0,85$$

Deformação em cada barra

A profundidade da barra $i$i, medida a partir da borda comprimida, é:

$$d_i=R-y_i$$

Adotando distribuição linear de deformações:

$$\varepsilon_{si} = \varepsilon_{cu} \frac{x-d_i}{x}$$

Para o exemplo:$$\varepsilon_{cu}=3,5\text{\textperthousand}$$

A tensão em cada barra é:$$\sigma_{si}=E_s\varepsilon_{si}$$

limitada por:$$-f_{yd}\leq\sigma_{si}\leq f_{yd}$$

Equilíbrio de forças

Para o exemplo sem força normal externa relevante:$$N_{Sd}=0$$

Logo:$$C_c+\sum A_{si}\sigma_{si}=0$$

A equação é resolvida iterativamente para encontrar $x$x.

Momento resistente

Depois de encontrar a linha neutra:$$M_{Rd} = C_cy_c + \sum A_{si}\sigma_{si}y_i$$

A seção atende quando:$$M_{Rd}\geq M_{Sd}$$

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22. Comparação das armaduras testadas

Armadura	Área total $A_s$As​	Momento resistente aproximado	Resultado
6 Ø 12,5 mm	736 mm²	48,0 kN·m	Não atende
8 Ø 12,5 mm	982 mm²	61,0 kN·m	Não atende
6 Ø 16 mm	1.206 mm²	71,5 kN·m	Não atende
8 Ø 16 mm	1.608 mm²	90,4 kN·m	Atende

A armadura adotada no exemplo é:$$\boxed{8\ \varnothing\ 16\ \text{mm}}$$

A taxa geométrica é:$$\rho=\frac{A_s}{A_g}$$$$\rho=\frac{1\,608}{125\,664}$$$$\boxed{\rho=1,28\%}$$

A verificação demonstra um ponto importante: a estimativa simplificada indicou aproximadamente 648 mm², mas a análise da seção circular mostrou que uma área total maior foi necessária devido à distribuição das barras ao redor do perímetro.

O artigo armadura de estacas: compressão, flexo-compressão e profundidade armada aprofunda a relação entre esforços, comprimento armado e condições executivas.

23. Armadura transversal e esforço cortante

A definição de 8 barras longitudinais não encerra o dimensionamento estrutural.

Também precisam ser verificados:

• esforço cortante máximo;
• armadura transversal;
• confinamento;
• espaçamento dos estribos;
• emendas;
• ancoragens;
• cobrimento;
• abertura de fissuras;
• durabilidade;
• transporte e içamento da gaiola;
• estabilidade da armadura durante a concretagem.

O diâmetro de 8 mm utilizado anteriormente para o estribo foi apenas uma hipótese geométrica para posicionar as barras longitudinais.

O espaçamento definitivo da armadura transversal deve ser obtido a partir do esforço cortante do modelo estrutural completo e dos critérios normativos aplicáveis.

24. Verificação do efeito da água

Considere, apenas para demonstrar a influência, que o nível d’água esteja a 1,00 m abaixo da superfície.

A altura de água atrás da cortina acima da cota de escavação será:

$$h_w=H-z_w$$$$h_w=2,50-1,00$$$$h_w=1,50\ \text{m}$$

A pressão hidrostática máxima será:$$u_{max}=\gamma_wh_w$$$$u_{max}=9,81\times1,50$$$$u_{max}=14,72\ \text{kPa}$$

A resultante por metro de cortina é:$$P_w=\frac{1}{2}\gamma_wh_w^2$$$$P_w=\frac{1}{2}\times9,81\times1,50^2$$$$\boxed{P_w=11,04\ \text{kN/m}}$$

Por estaca:$$P_{w,p}=P_ws$$$$P_{w,p}=11,04\times1,20$$$$\boxed{P_{w,p}=13,25\ \text{kN}}$$

Essa força adicional é equivalente a aproximadamente 44% da força ativa de solo calculada acima da escavação:

$$\frac{13,25}{29,96}\approx44\%$$

Além da pressão hidrostática, abaixo do nível d’água devem ser utilizadas tensões efetivas e peso específico submerso.

Portanto, a presença de água pode modificar significativamente:

• ficha;
• momento máximo;
• esforço cortante;
• armadura;
• deslocamentos;
• estabilidade do fundo;
• necessidade de drenagem ou rebaixamento.

25. O cálculo de equilíbrio não fornece sozinho os deslocamentos

O método utilizado permite estimar:

• empuxos;
• ficha;
• força resultante;
• cortante;
• momento;
• armadura preliminar.

Ele não representa integralmente a interação solo-estrutura.

Para estimar deslocamentos podem ser utilizados:

• modelo de Winkler;
• coeficientes de reação horizontal;
• curvas $p-y$p−y;
• elementos finitos;
• modelos constitutivos do solo;
• análises por etapas construtivas.

Nas cortinas urbanas, o controle de deformações pode ser mais restritivo do que a própria resistência estrutural.

Uma cortina pode apresentar segurança contra ruptura e ainda gerar deslocamentos capazes de afetar:

• fundações vizinhas;
• muros;
• pavimentos;
• redes enterradas;
• estruturas frágeis;
• edificações antigas.

O artigo estacas carregadas transversalmente no topo apresenta conceitos complementares sobre interação lateral entre estacas e solo.

26. Verificações adicionais obrigatórias

O exemplo não substitui as seguintes verificações:

Estabilidade global

Deve-se investigar a possibilidade de uma superfície de ruptura atravessar o maciço, a cortina e o solo abaixo da escavação.

Ruptura do fundo

Em argilas moles ou escavações profundas, o fundo pode sofrer levantamento ou perda de estabilidade.

Levantamento hidráulico

Pressões de água abaixo do fundo podem superar o peso do solo ou da estrutura.

Piping e erosão interna

Fluxos hidráulicos podem transportar partículas e provocar vazios ou recalques.

Estabilidade do solo entre as estacas

Na cortina espaçada, o vão de 0,80 m deve ser analisado considerando arqueamento, resistência local, água e sistema de fechamento.

Integridade estrutural

Devem ser verificados momento, cortante, esforço normal, fissuração, durabilidade e detalhamento.

Condição provisória e permanente

A etapa de construção pode ser mais crítica do que a situação definitiva.

Sequência de escavação

Mesmo uma cortina em balanço precisa respeitar a profundidade liberada, o tempo de cura do concreto e a execução do fechamento.

Vizinhança

Devem ser levantadas fundações, redes, edificações e deslocamentos admissíveis.

Instrumentação

Conforme a sensibilidade da obra, podem ser necessários marcos topográficos, pinos de recalque, inclinômetros e piezômetros.

27. Quando a cortina em balanço deixa de ser adequada

O aumento da altura de escavação produz crescimento expressivo dos momentos.

A parcela triangular do solo gera momento proporcional, aproximadamente, a:

$$M\propto H^3$$

Isso significa que um aumento aparentemente pequeno da altura pode elevar muito a solicitação.

Tirantes, escoras ou lajes intermediárias podem:

• reduzir momentos;
• reduzir deslocamentos;
• diminuir a ficha necessária;
• permitir escavações mais profundas;
• melhorar o controle da vizinhança.

Contudo, esses apoios introduzem novas verificações:

• carga em cada tirante;
• inclinação;
• espaçamento;
• comprimento livre;
• comprimento ancorado;
• capacidade do bulbo;
• aço de protensão;
• ensaios;
• perdas;
• proteção contra corrosão;
• interferência com terrenos vizinhos;
• sequência de escavação e protensão.

O dimensionamento completo será tratado em outro artigo:

Como dimensionar tirantes em cortinas de contenção: carga, trecho livre, bulbo, ensaios e protensão

Manuais técnicos determinam que cada fase de uma cortina ancorada seja analisada, porque a escavação necessária para instalar cada novo nível modifica os esforços e os deslocamentos do sistema.

28. Resumo do exemplo calculado

Resultado	Valor
Altura de escavação	2,50 m
Ângulo de atrito adotado	$32^\circ$32∘
$K_a$Ka​	0,307
$K_p$Kp​	3,255
$K’_p$Kp′​ reduzido	2,170
Diâmetro	0,40 m
Espaçamento	1,20 m
Vão livre	0,80 m
Ficha teórica	2,59 m
Ficha final didática	3,11 m
Comprimento total	5,61 m
Momento característico	57,12 kN·m
Momento de cálculo	79,97 kN·m
Armadura adotada	8 Ø 16 mm
Área de aço	1.608 mm²
Momento resistente aproximado	90,4 kN·m
Taxa de armadura	1,28%

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29. Roteiro para dimensionar outra cortina

Ao desenvolver outro exemplo, siga esta ordem:

Etapa 1 — Definir a geometria

Obter:$$H,\quad D,\quad s,\quad q,\quad z_w$$

Etapa 2 — Interpretar a investigação

Identificar:

• camadas;
• NSPT;
• nível d’água;
• materiais resistentes;
• transições;
• variabilidade lateral.

Etapa 3 — Definir os parâmetros

Obter:$$\gamma,\quad\gamma_{sat},\quad\varphi’,\quad c’,\quad s_u,\quad E_s$$

Etapa 4 — Calcular tensões efetivas

$$\sigma’_v=\sigma_v-u$$

Etapa 5 — Calcular os coeficientes de empuxo

$$K_a,\quad K_p$$

Etapa 6 — Montar os diagramas

Separar:

• solo;
• sobrecarga;
• água;
• pressões abaixo da escavação.

Etapa 7 — Calcular a ficha

Resolver:$$\sum M=0$$

e aplicar os critérios de segurança e ajustes do método adotado.

Etapa 8 — Localizar o momento máximo

Resolver:$$V(y)=0$$

e calcular:$$M_{max}=M(y)$$

Etapa 9 — Verificar o espaçamento

Repetir o cálculo para valores diferentes de $s$s, verificando também o solo entre as estacas e o fechamento.

Etapa 10 — Dimensionar a seção

Verificar:$$M_{Rd}\geq M_{Sd}$$$$V_{Rd}\geq V_{Sd}$$

e, quando houver força normal:$$(N_{Sd},M_{Sd})$$

no diagrama de interação da seção.

Etapa 11 — Verificar deslocamentos

Utilizar um modelo de interação solo-estrutura compatível com a sensibilidade da obra.

Etapa 12 — Verificar a obra como sistema

Analisar:

• estabilidade global;
• fundo;
• água;
• vizinhança;
• sequência executiva;
• instrumentação;
• durabilidade;
• condição provisória e permanente.

Conclusão

O dimensionamento de uma cortina de estacas em balanço exige a integração de três áreas:

• investigação geotécnica;
• mecânica dos solos;
• estruturas de concreto.

No exemplo desenvolvido, a análise seguiu a sequência:

1. interpretação do NSPT;
2. definição dos parâmetros;
3. cálculo dos empuxos;
4. determinação da ficha;
5. localização do momento máximo;
6. verificação do espaçamento;
7. dimensionamento da seção circular;
8. escolha da armadura.

O resultado didático foi uma cortina com:$$D=0,40\ \text{m}$$$$s=1,20\ \text{m}$$$$d_f=3,11\ \text{m}$$$$8\ \varnothing\ 16\ \text{mm}$$

Esses valores não devem ser transportados para outra obra. Eles pertencem exclusivamente às hipóteses apresentadas.

Alterar o solo, a altura, a água, a sobrecarga ou a vizinhança altera o problema.

A principal conclusão não é uma fórmula, mas uma sequência lógica:

Uma equação corretamente resolvida não corrige um perfil geotécnico insuficientemente investigado.

A APL Engenharia atua com geotecnia, sondagem SPT, projetos e execução de cortinas de contenção e fundações profundas, incluindo estacas escavadas e tubulões, hélice contínua monitorada e estaca raiz.

Para análise da investigação, projeto da contenção ou avaliação da solução executiva, fale com a equipe técnica da APL Engenharia.